29 avril 1999

La chèvre et le chou


Les jeux peuvent stimuler la curiosité et l'intérêt pour les mathématiques, croit fermement le professeur Frédéric Gourdeau

Un fermier amène un loup, une chèvre et un sac de choux au marché. Il doit traverser un cours d'eau mais il ne peut prendre qu'un des trois "passagers" à la fois dans sa chaloupe. Sachant qu'il ne peut jamais laisser le loup seul avec la chèvre, pas plus que la chèvre avec les choux, de crainte que les premiers ne dévorent les seconds, dans quel ordre doit-il les faire traverser?

Un anthropologue étudie les habitants de l'Île de Tautos, où vivent deux tribus: l'une dont les membres mentent toujours, et l'autre dont les membres disent toujours la vérité. Un jour, l'anthropologue, qui veut se rendre au village, arrive à l'embranchement d'une route qui se subdivise en deux. Ne sachant quelle direction prendre, il attend. Vient à passer un habitant de l'île. Comme il ne sait pas à quelle tribu appartient ce passant, quelle question doit-il lui poser pour savoir quelle route conduit au village?

Voilà le genre de problèmes qui peut tourmenter l'esprit pendant des heures, surtout lorsqu'on tient mordicus à prouver qu'on n'est pas un parfait demeuré ou lorsque le tortionnaire qui a posé l'énigme refuse de nous donner la réponse (le Fil ne vous fera pas ce coup; les réponses sont à la fin de l'article). Frédéric Gourdeau connaît bien ce genre de problèmes. "Lorsque j'étais jeune, j'avais un oncle et un cousin qui me posaient toujours des problèmes du genre dans les réunions de famille. Depuis le secondaire, j'ai toujours aimé essayer de les résoudre. Ça me motivait à fouiller plus loin que la matière au programme. Maintenant que je suis devenu professeur de mathématiques, il y a toujours quelqu'un dans les soirées qui me dit : Eh! le prof de math, j'ai un problème pour toi!"

La bosse du travail
Aux yeux de ce professeur du Département de mathématiques et de statistique, qui enseigne d'ailleurs le cours Résolution de problèmes mathématiques, il ne fait aucun doute que ces jeux, même s'ils ne contiennent souvent aucun chiffre, sont des mathématiques. "Ce sont les idées qui sont importantes et pour résoudre ces problèmes, il faut tenir compte des conditions, il faut formuler des hypothèses, les tester et arriver à une conclusion. Ces problèmes empruntent des éléments à la philosophie, à la physique et même aux réseaux neuronaux, mais ce sont des mathématiques."

Il existe des trucs et des astuces qui permettent de solutionner les jeux mathématiques: identifier des invariants ou des symétries, poser le problème en termes de cas extrêmes ou de cas plus simples, partir de ce que l'on veut obtenir à la fin et réfléchir à rebours. Pour devenir vraiment habile, il ne faut pas s'en remettre à la "bosse" des maths, estime Frédéric Gourdeau, "Le cerveau est un "muscle" qui s'entraîne et pour devenir bon en résolution de problème, il faut travailler et avoir de la motivation", a-t-il déclaré la semaine dernière, au terme d'un exposé qui s'inscrivait dans le cadre des conférences populaires sur les mathématiques actuelles, présentées par le Département de mathématiques et de statistique. Mentionnons que treize étudiants finissants ont profité de cet événement pour présenter leur projet de fin d'études en mathématiques. La compagnie d'assurances Union Canadienne a remis des bourses aux trois meilleurs projets, ceux de Neil Kennedy (1 500 $), Caroline Dallaire et Nicolas Richard (900 $) et Nicolas Thériault (600 $).

Et les réponses sont...
TAUTOS. L'une des questions qu'il est possible de poser pour obtenir une réponse utile est: "Si je demande à un membre de l'autre tribu si cette route conduit au village, que va-t-il me répondre?" Si la réponse est oui, c'est la mauvaise route. Si la réponse est non, c'est la bonne. En effet, supposons que la route que vous indiquez soit la bonne et que le passant soit de la tribu de la vérité. Il va donc vous répondre textuellement ce que le menteur aurait répondu. Or, ce dernier vous aurait dit que ce n'est pas la bonne route puisqu'il ment toujours. Si le passant est de la tribu des menteurs, il va répondre que ce n'est pas la bonne route puisqu'il va vous mentir sur la réponse qu'aurait donnée le membre de la tribu qui dit toujours la vérité.

FERMIER. Une des réponses possibles est: le fermier prend la chèvre et l'amène de l'autre côté. Il revient, prend les choux et les traverse sur l'autre rive. Arrivé là, il débarque les choux et embarque la chèvre qu'il ramène avec lui de l'autre côté. Il la descend, prend le loup à son bord et l'amène rejoindre les choux sur l'autre rive. Finalement, il revient chercher la chèvre pour une dernière traversée. Tout ce petit monde est finalement réuni.

Ceux qui en veulent plus peuvent visiter le site de la Fédération québécoise des jeux de mathématiques (http://www.mat.ulaval.ca/pages/fqjm/).

JEAN HAMANN